Question

設函數f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1為常數
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）試推斷函數f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）不等式即為|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，則ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化為（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
由0＜a＜1可得，

a

1+a

＜x＜

a

1-a

，故不等式解集為{x|

a

1+a

＜x＜

a

1-a

}．
（2）由條件得：f（x）=

(1-a)x-a當x≥a時 -(1+a)x+a當x＜a時

，
∵1＞a＞0，
∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函數f（x）在（-∞，a）上是減函數，且在[a，+∞）上是增函數．
故當 x=a 時，f（x）存在最小值f（a）．