Question

（2013•昌平區二模）設數列{a_n}，對任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常數）．
（1）當k=0，b=3，p=-4時，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）當k=1，b=0，p=0時，若a₃=3，a₉=15，求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{a_n}中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．當k=1，b=0，p=0時，設S_n是數列{a_n}的前n項和，a₂-a₁=2，試問：是否存在這樣的“封閉數列”{a_n}，使得對任意n∈N^*，都有S_n≠0，且

1

12

＜

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

11

18

．若存在，求數列{a_n}的首項a₁的所有取值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當k=0，b=3，p=-4時，3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂…+a_n），再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以首項為1，公比為3的等比數列，從而可求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）當k=1，b=0，p=0時，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（3）確定數列{a_n}的通項，利用{a_n}是“封閉數列”，得a₁是偶數，從而可得

18

11

＜a1＜12，再利用

1

12

＜

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

11

18

，驗證，可求數列{a_n}的首項a₁的所有取值．

解答：解：（1）當k=0，b=3，p=-4時，3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，（2分）
在①中令n=1得，a₁=1，則a_n≠0，∴

an+1

an

=3，
∴數列{a_n}是以首項為1，公比為3的等比數列，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=

3n-1

2

．（4分）
（2）當k=1，b=0，p=0時，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），③
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），④
④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤（6分）
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，（8分）
∴數列{a_n}是等差數列．
∵a₃=3，a₉=15，∴公差d=

a9-a3

9-3

=2，∴a_n=2n-3．（10分）
（3）由（2）知數列{a_n}是等差數列，∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又{a_n}是“封閉數列”，得：對任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2（p-m-n+1），故a₁是偶數，（12分）
又由已知，

1

12

＜

1

S1

＜

11

18

，故

18

11

＜a1＜12．
一方面，當

18

11

＜a1＜12時，S_n=n（n+a₁-1）＞0，對任意n∈N^*，都有

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

≥

1

S1

＞

1

12

．
另一方面，當a₁=2時，S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

，則

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，
取n=2，則

1

S1

+

1

S2

=1-

1

3

=

2

3

＞

11

18

，不合題意．（14分）
當a₁=4時，S_n=n（n+3），

1

Sn

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，則

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
當a₁≥6時，S_n=n（n+a₁-1）＞n（n+3），

1

Sn

＜

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

11

18

-

1

3

(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)＜

11

18

，
又

18

11

＜a1＜12，
∴a₁=4或a₁=6或a₁=8或a₁=10．（16分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查等差數列、等比數列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．