Question

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中點，FA⊥平面ABD，且FA=2 ，如圖2．
（1）求證：FA∥平面BC'D；
（2）求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；
（3）在線段AD上是否存在一點M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC=CD，E為BD的中點，∴C′E⊥BD，

又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，

∴C′E⊥ABD，

∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E平面BC'D，FA平面BC'D，

∴FA∥平面BC'D

（2）解：以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

則B（1，0，0），A（0， ，0），D（﹣1，0，0），F（0，﹣ ， ），

C′（0，0， ），

∴ ， ．

設平面FBC′的一個法向量為 ，

則 ，取z=1，則 ．

又平面ABD的一個法向量為 ．

∴cos＜ ＞= = ．

則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為

（3）解：線段AD上不存點M，使得C'M⊥平面FBC．

假設在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，

設 ，則（x，y ，z）=λ（﹣1， ，0）=（﹣λ， ，0），

∴x=﹣λ，y= ，z=0．

則 =（﹣λ， ，﹣ ）．

由 ，得 ，即 錯誤．

∴線段AD上不存點M，使得C'M⊥平面FBC．

【解析】（1）由題意可得C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，再由面面垂直的性質可得C′E⊥ABD，結合已知可得FA∥C′E，由線面平行的判定可得FA∥平面BC'D；（2）以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，EC′所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，求得平面FBC′與平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值；（3）假設在線段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，由 求得M的坐標，得到 ，由 加以判斷．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．