Question

【題目】已知函數， ．

⑴ 若曲線在點處的切線經過點，求實數的值；

⑵ 若函數在區間上單調，求實數的取值范圍；

⑶ 設，若對， ，使得成立，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】⑴⑵⑶

【解析】試題分析：（1）根據題意，對函數求導，由導數的幾何意義分析可得曲線 在點處的切線方程，代入點，計算可得答案；
（2）由函數的導數與函數單調性的關系，分函數在（上單調增與單調減兩種情況討論，綜合即可得答案；
（3）由題意得， 分析可得必有 ，對求導，對分類討論即可得答案．

試題解析：

⑴由題意得， ，

， ，

曲線在點處的切線方程為，

代入點，得， .

⑵，

若函數在區間上單調遞增，則在恒成立，

，得；

若函數在區間上單調遞減，則在恒成立，

，得，

綜上，實數的取值范圍為；

⑶由題意得， ，

，

，即，

由，

當時， ，則不合題意；

當時，由，得或（舍去），

當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增．

，即，

整理得， ，

設， ， 單調遞增，

， 為偶數，

又 ， ，

，故整數的最小值為。