Question

已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x²+（y﹣1）²=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC||BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l₁，l₂且l₁，l₂交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

解：（1）由題知，拋物線的準線方程為y+1=0， =1
所以拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設直線AB方y=kx+1交拋物線C于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由拋物線定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
所以|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由 得x²﹣4kx﹣4=0，
顯然△＞0，則x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣4，
所以y₁y₂= =1，
所以|AC||BD|為定值1．
（3）解：由x²=4y，y= x²，y= x，
得直線AM方程y﹣ = x₁（x﹣x₁）（1），
直線BM方程y﹣ = x₂（x﹣x₂）（2），
由（2）﹣（1）得 （x₁﹣x₂）x= ﹣ ，所以x= （x₁+x₂）=2k，
∴y=﹣1 所以點M坐標為（2k，﹣1），
點M到直線AB距離d= =2 ，
弦AB長為|AB|=  =  =4（1+k²），
△ACM與△BDM面積之和，
S= （|AB|﹣2）d= ×（2+4k²）×2 =2（1+2k²） ，
當k=0時，即AB方程為y=1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2．