Question

已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l₁，l₂且l₁，l₂交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一小題較為簡單，因為拋物線是標準方程，只須求參數P；
（2）直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點；
（3）欲求面積之和的最小值，利用直線AB的斜率作為自變量，建立函數模型，轉化成求函數的最值問題．

解答：解：（1）由題知，拋物線的準線方程為y+1=0，

p

2

=1
所以拋物線C的方程為x²=4y．

（2）設直線AB方y=kx+1交拋物線C于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由拋物線定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
所以|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，
顯然△＞0，則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以y₁•y₂=

x 2 1 • x 2 2

16

=1，所以|AC|•|BD|為定值1．

（3）解：由x²=4y，y=

1

4

x²，y=

1

2

x，
得直線AM方程y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x₁（x-x₁）（1），
直線BM方程y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x₂（x-x₂）（2），
由（2）-（1）得

1

2

（x₁-x₂）x=

1

4

x

2 1

-

1

4

x

2 2

，
所以x=

1

2

（x₁+x₂）=2k，∴y=-1
所以點M坐標為（2k，-1），
點M到直線AB距離d=

|k•2k+1+1|

1+k2

=2

1+k2

，
弦AB長為|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16k2+16

=4（1+k²），
△ACM與△BDM面積之和，
S=

1

2

（|AB|-2）•d=

1

2

×（2+4k²）×2

1+k2

=2（1+2k²）

1+k2

，
當k=0時，即AB方程為y=1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2．

點評：新課標下的圓錐曲線題一般是壓軸題，主要考查橢圓或拋物線的有關知識，本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力，背景新穎，綜合要求高．數學中的最值與定值問題，歷來是高考的熱點．求解定值與最值的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當題目中的條件和結論明顯體現幾何特征及意義時，可用圖形性質來解；二是從代數角度考慮，當題中的條件和結論體現出一種明顯的函數關系時，可通過建立目標函數，求其目標函數的最值．