【題目】動點
與點
的距離和它到直線
的距離相等，記點的軌跡為曲線
（1）求曲線的方程
（2）設點
，動點
在曲線上運動時，
的最短距離為
，求
的值以及取到最小值時點的坐標
（3）設
為曲線的任意兩點，滿足
（
為原點），試問直線
是否恒過一個定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，說明理由
【答案】（1）
；（2）
；
；（3）恒過定點
，理由見解析
【解析】
（1）由拋物線定義可知軌跡為拋物線，結合焦點坐標求得曲線方程；
（2）設
，由兩點間距離公式可得到
，結合二次函數的性質可知當
時，取得最小值，從而構造方程求得
；利用求得
，從而得到
點坐標；
（3）將直線
方程與拋物線方程聯立可得
坐標；由兩點連線斜率公式求得直線
斜率，進而得到直線的方程，整理可得恒過的定點坐標.
（1）由拋物線定義可知，動點
的軌跡是以
為焦點，
為準線的拋物線
曲線
的方程為：
（2）設 
當時，
，解得：
此時
（3）由題意知，直線斜率均存在且均不為零，可記為
，與拋物線方程聯立得：
同理可得：
直線斜率為
直線方程為：
整理可得：
當
，
時等式恒成立
直線恒過點
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（題文）（題文）已知橢圓
的左右頂點分別為
，
，右焦點
的坐標為
，點
坐標為
，且直線
軸，過點作直線與橢圓
交于
，
兩點（，在第一象限且點在點的上方），直線
與
交于點
，連接
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線的斜率為
，直線
的斜率為
，問：
的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中,已知
，M是BC的中點.
(1)若
,求向量
與向量
的夾角的余弦值；
(2)若O是線段AM上任意一點,且
，求
的最小值；
(3)若點P是邊BC上的一點,且
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標系中，將曲線
向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
，得到曲線
，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為
．
（1）求曲線的參數方程；
（2）已知點
在第一象限，四邊形
是曲線的內接矩形，求內接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系
中，直線
（
為參數），以原點為極點，
軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線
的普通方程及曲線的直角坐標方程；
（2）設點
直角坐標為
，直線與曲線交于
，
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左．右焦點分別為
,短軸兩個端點為
,且四邊形
的邊長為
的正方形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若
,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點
滿足
,連結
,交橢圓于點
．證明: 
的定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問
軸上是否存在異于點
,的定點
,使得以
為直徑的圓恒過直線
,
的交點,若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝（kx+
）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一個正整數，則實數k的取值范圍為 （ ）
A. [
，
）B. （，]
C. [
）D. [
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為1，線段
上有兩個動點
，且
，現有如下四個結論：
；
平面
；
三棱錐
的體積為定值；
異面直線
所成的角為定值，
其中正確結論的序號是______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中有如下正確結論：
為曲線
（
、
為非零實數，且不同時為負）上一點,則過點
的切線方程為
．
(1)已知為橢圓
上一點,
為過點的橢圓的切線，若直線
與直線的斜率分別為
與
,求證：
為定值；
(2)過橢圓
上一點
引橢圓
的切線,與
軸交于點
．若
為正三角形,求橢圓的方程；
(3)求與圓
及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的取值范圍．
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