Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=PC=

2

2

DC，求證：平面PDA⊥平面PCB；
（Ⅲ）若側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=4．求△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，證明OE∥PA，即可證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明PD⊥平面PCB，可得平面PDA⊥平面PCB；
（Ⅲ）過D作PA的垂線．垂足為H，則幾何體為以DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個圓錐的組合體，即可求△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接EO．
∵ABCD是正方形，∴O為AC中點，
∵已知E為PC的中點，
∴OE∥PA．…（2分）
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）證明：在△DPC中，PD=PC=

2

2

DC，∴PD²+PC²=DC²，即DP⊥PC．…（4分）
又已知：平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，BC⊥DC；
∴BC⊥平面PDC，PD?平面PDC，∴PD⊥BC，…（6分）
BC與PC相交且在平面PBC內(nèi)．
∴PD⊥平面PCB，PD?平面PDA，∴平面PDA⊥平面PCB．…（8分）
（Ⅲ）解：過D作PA的垂線．垂足為H，則幾何體為以DH為半徑，分別以PH，AH為高的兩個圓錐
的組合體．…（9分）
側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DA，PD=4，DA=DC=3，∴PA=5
DH=

PD•DA

PA

=

4×3

5

=

12

5

，…（10分
V=

1

3

πDH2•PH+

1

3

πDH2•AH=

1

3

πDH2•PA=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48

5

π
  …（12分）

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查幾何體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用線面平行，面面垂直的判定是關(guān)鍵．