Question

已知AB，CD分別為橢圓的長軸和短軸，若

AQ

=

1

2

AD

，且

AD

•

CQ

=0，則橢圓的離心率是

2 2 -2

．

Answer 1

分析：利用向量的中點坐標公式可得點Q的坐標，再利用數量積運算

AD

•

CQ

=0，即可得到a，b的關系式，利用離心率計算公式即可得出．

解答：解：設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則A（-a，0），B（a，0），C（-b，0），D（0，b），
∵

AQ

=

1

2

AD

，∴Q(-

a

2

，

b

2

)．
∴

AD

=(a，b)，

CQ

=(-

a

2

+b，

b

2

)．
∵

AD

•

CQ

=0，∴a(-

a

2

+b)+

b2

2

=0，化為(

b

a

)2+2•

b

a

-1=0，
解得

b

a

=

2

-1．
∴e=

c

a

=

1-( b a )2

=

2 2 -2

．
故答案為

2 2 -2

．

點評：熟練掌握向量的中點坐標公式、數量積運算、離心率計算公式是解題的關鍵．