Question

已知函數，且給定條件p：．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；     
（2）在￢p的條件下，求f（x）的值域；
（3）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把給出的函數先降冪再化積，然后運用復合函數的單調性求減區間；
（2）根據給出的條件p得到￢p：，代入函數解析式后求值域；
（3）把條件q整理后得到f（x）的范圍，由￢p是q的充分條件，說明（2）中求出的函數值域是條件q得到的f（x）的范圍的子集，比較區間端點值可得m的范圍．
解答：解：（1）f（x）=5-=5-2+
=-2sin2x+cos2x+3=-2=-4
由，得：．
所以原函數的單調減區間為{x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}；
（2）由于給定條件p：．
則￢p：，所以，所以-1≤．
所以函數f（x）的值域為[-1，2]；
（3）由-2＜f（x）-m＜2，即m-2＜f（x）＜m+2，
又￢p是q的充分條件，即當-1≤f（x）≤2時，必有m-2＜f（x）＜m+2，
所以，解得：0＜m＜1．
所以實數m的取值范圍是（0，1）．
點評：本題考查了復合命題的真假，考查了三角函數中的恒等變換的應用，本題考查了數學轉化思想，解答（3）的關鍵是把充分條件問題轉化為集合間的關系求解，此題為中檔題．