Question

【題目】某產品自生產并投入市場以來，生產企業為確保產品質量，決定邀請第三方檢測機構對產品進行質量檢測，并依據質量指標來衡量產品的質量.當時，產品為優等品；當時，產品為一等品；當時，產品為二等品.第三方檢測機構在該產品中隨機抽取500件，繪制了這500件產品的質量指標的條形圖.用隨機抽取的500件產品作為樣本，估計該企業生產該產品的質量情況，并用頻率估計概率.

（1）從該企業生產的所有產品中隨機抽取1件，求該產品為優等品的概率；

（2）現某人決定購買80件該產品.已知每件成本1000元，購買前，邀請第三方檢測機構對要購買的80件產品進行抽樣檢測.買家、企業及第三方檢測機構就檢測方案達成以下協議：從80件產品中隨機抽出4件產品進行檢測，若檢測出3件或4件為優等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產品的檢測費用250元由企業承擔.記企業的收益為元，求的分布列與數學期望；

（3）商場為推廣此款產品，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動.客戶可根據拋硬幣的結果，操控機器人在方格上行進，已知硬幣出現正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機器人向前移動一次，若擲出正面，機器人向前移動一格（從到），若擲出反面，機器人向前移動兩格（從到），直到機器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束，若機器人停在“勝利大本營”，則可獲得優惠券.設機器人移到第格的概率為，試證明是等比數列，并解釋此方案能否吸引顧客購買該款產品.

Answer 1

【答案】（1）（2）分布見解析，數學期望為41500；（3）證明見解析，此方案能吸引顧客購買該款產品.

【解析】

（1）根據條形圖，可得優等品的頻率為，進而可得其概率；（2）計算出的值可以為47000，39000，計算出其分別對應的概率，得到分布列，進而可得期望；（3）首先易得，，根據題意可得，化簡即可得，即為等比數列，利用累加法可得，再分別計算出獲勝和失敗的概率，比較大小即可得結果.

（1）根據條形圖可知，優等品的頻率為，用頻率估計概率，則任取一件產品為優等品的概率為.

（2）由（1）任取一件產品為優等品的概率為，

由題意，或

；

.

故的分布列為：

	47000	39000

所以數學期望.

（3）機器人在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現正面，機器人移到第1格，其概率.機器人移到第格的情況只有兩種：

①先到第格，又出現反面，其概率，

②先到第格，又出現正面，其概率.

所以，故

所以時，數列為首項，

公比為的等比數列.

所以，，，，，

以上各式累加，得，

所以

所以獲勝概率，

失敗概率

，所以獲勝概率更大，

故此方案能吸引顧客購買該款產品.