Question

【題目】兩縣城和相距，現計劃在兩縣城外位于線段上選擇一點建造一個兩縣城的公共垃圾處理廠，已知垃圾處理廠對城市的影響度與所選地點到城市的的距離關系最大，其他因素影響較小暫時不考慮，垃圾處理廠對城和城的總影響度為對城與城的影響度之和. 記點到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為，統計調查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數2.7；垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為 ；且當垃圾處理廠與城距離為時對城和城的總影響度為0.029.

(1) 將表示成的函數；

(2) 討論⑴中函數的單調性，并判斷在線段上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最小？若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數在內單調遞減，在內單調遞增；在線段AB上存在點符合題意，該點與城的距離.

【解析】

（1）先求出垃圾處理廠對城的影響度比例系數，然后根據題意求與的函數關系；

（2）應用導數求解.

⑴據題意，，，

且建在處的垃圾處理廠對城的影響度為，

對城的影響度為，

因此總影響度．

又因為當垃圾處理廠與城距離為時

對城和城的總影響度為0.029.

所以．

所以．

(2)　因為．

由解得．

由解得

由解得

所以，隨的變化情況如下表：

		0
	↘	極小值	↗

由表可知，函數在內單調遞減，在內單調遞增，

當時，，

故在線段AB上存在點，使得建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最小，

該點與城的距離．