Question

（本小題滿分12分）

如圖1，在Rt中，，.D、E分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明:在△中， 

結合推出平面.

再根據得到平面,平面平面。

（Ⅱ）直線BE與平面所成角的余弦值為.

（Ⅲ）當時最大為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明:在△中， 

.又平面.

又平面,又平面,故平面平面……（4分）

（Ⅱ）由(1)知故以D為原點, 分別為x,y,z軸建立直角坐標系. 因為CD="2," 則 …（5分）

,設平面的一個法向量為

則取法向量,則直線BE與平面所成角,

  ………………（8分）

故直線BE與平面所成角的余弦值為.    …………………（9分）

（Ⅲ）設,則,則,

,則當時最大為.…（12分）

考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，距離及角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題（3），得到距離表達式后，應用了二次函數在指定區間的最值求法，達到解題目的。