Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

P

=（2

3

，1）．
（1）若

m

∥

p

，求

m

•

n

的值；
（2）若f（x）=

m

•

n

，求f（x）最小正周期及f（x）在（0，

π

3

]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據向量共線的坐標關系建立等式，可求出tanx的值，然后根據數量積公式表示出

m

•

n

，最后轉化成tanx的表達式，從而可求出所求；
（2）利用二倍角公式和輔助角公式將函數化成Asin（ωx+φ）+B的形式，利用正弦函數的性質可求出函數的周期和值域．

解答：解；（1）若

m

∥

p

，∴

3

sinx-2

3

cosx=0
∴tanx=2    …（3分）
∴

m

•

n

=

3

sinxcosx+cosxcosx
=

3 sinxcosx+cosxcosx

sin2x+cos2x

=

3 tanx+1

tan2x+1

=

2 3 +1

5

  …（6分）
（2）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，∴T=π                 …（9分）
∵x∈（0，

π

3

]
∴2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]則sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]
∴f（x）∈[1，

3

2

]，即函數f（x）=

m

•

n

的值域為[1，

3

2

]…（12分）

點評：本題主要考查了向量的數量積，以及二倍角公式和輔助角公式，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．