Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
（1）若

m

∥

p

，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=

m

•

n

，求函數f（x）在區間[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

（1）∵向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
∴由

m

∥

p

，可得

3

sinxcosx=2

3

cos²x，
兩邊都除以

3

cos²x，得tanx=2．
∴sinx•cosx=

sinx•cosx

sin2x+cos2x

=

tanx

1+tan2x

=

2

5

．…（6分）
（2）由題意，得
f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
∵0≤x≤

π

3

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
可得1≤f（x）≤

3

2

，故函數f（x）的值域為[1，

3

2

]．…（12分）