Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）已知點和函數圖像上動點,對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求函數的定義域，然后求導，利用導數大于0或導數小于0，得到關于x的不等式，解之即可；注意解不等式時要結合對應的函數圖象來解；
（2）因為對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉化為導數值小于0恒成立的問題，對于導函數小于0在區間[1，e]上恒成立，則問題轉化為函數的最值問題，即函數f′（x）＜0恒成立，通過化簡最終轉化為f（m）＜1在區間[1，e]上恒成立，再通過研究f（x）在[1，e]上的單調性求最值，結合（Ⅰ）的結果即可解決問題．注意分類討論的標準的確定．

試題解析：

（1）函數的定義域為， ，

當時， ，故在上單調遞減；

當時， ，故在上單調遞減；

當時， ，解得故在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）因為對任意的，直線傾斜角都是鈍角，即對任意的， ，即，即.

因為，令，

（i）當時，由（1）知， 在上單調遞減，則由，故,此時滿足.

（ii）當時，令，得，當時，即,函數在上單調遞增，故的最大值為，解得與矛盾.

當時，即，函數在上單調遞減，故的最大值為，得,此時.

當時，即，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故在的最大值為或，

所以，即，故，綜上， 的取值范圍為.