Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于點A、B，定直線x=4交x軸于點K，直線KA和直線KB的斜率分別是k₁、k₂．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）直線l的方程是y=x-1，代入橢圓方程整理，利用韋達定理及|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|，可求線段AB的長；
（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及斜率公式，即可證明k₁+k₂=0．

解答：（1）解：直線l的方程是y=x-1，代入橢圓方程整理得：7x²-8x-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

．…2分
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

2

•

( 8 7 )2+ 32 7

=

24

7

．…5分
（2）證明：當l⊥x軸時，由橢圓的對稱性易知k₁+k₂=0；…6分
當l不與x軸垂直時，設其方程是：y=k（x-1）代入橢圓方程整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，易知其判別式△＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．…9分
而K（4，0）
則k₁+k₂=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

x1y2+y1x2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

=

k[2x1xx-5(x1+x2)+8]

(x1-4)(x2-4)

=0
即k₁+k₂=0
綜上總有k₁+k₂=0．…13分

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，考查韋達定理的運用，正確運用韋達定理是關鍵．