Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1，過E（1，0）作兩條直線AB與CD分別交橢圓于A，B，C，D四點，已知kAB•kCD=-

1

4

．
（1）若AB的中點為M，CD的中點為N，求證：①kOM•kON=-

1

4

為定值，并求出該定值；②直線MN過定點，并求出該定點；
（2）求四邊形ACBD的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1，兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，同理kON•kCD=-

1

4

，(kOM•kAB)•(kON•kCD)=

1

16

，
所以kOM•kON=-

1

4

．由此能導(dǎo)出MN必過OE的中點；
（2）設(shè)AB的方程為y=k₁（x-1），CD的方程為y=k₂（x-1）．由

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得(

1

4

+k12)x2-2k12x+k12-1=0，|AB|=

△

1 4 +k12

1+k12

=

4 3k12+1

1+4k12

1+k12

，同理|CD|=

4 3k22+1

1+4k22

1+k22

，由此能導(dǎo)出四邊形ACBD的最大值．

解答：解：（1）證明：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．
兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，即c=2時，．
同理kON•kCD=-

1

4

，∴(kOM•kAB)•(kON•kCD)=

1

16

∴kOM•kON=-

1

4

（4分）
4由①知：c=2時，5，又已知kAB•kCD=-

1

4

∴k_OM=k_CD，從而OM∥CD．
同理可知：ON∥AB∴四邊形ONEM為平行四邊形．
∴MN必過OE的中點(

1

2

，0)
（2）設(shè)AB的方程為y=k₁（x-1），CD的方程為y=k₂（x-1）．
由

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得(

1

4

+k12)x2-2k12x+k12-1=0
∴|AB|=

△

1 4 +k12

1+k12

=

4 3k12+1

1+4k12

1+k12

，同理|CD|=

4 3k22+1

1+4k22

1+k22

∵S四邊形ACBD=

1

2

|AB|•|CD|•sinθ(θ為AB，CD的夾角)
令tanα=|k₁|，tanβ=|k₂|∴tanα•tanβ=

1

4

∴θ=α+β
∴sinθ=sin(α+β)=

1

1+ 1 tan2(α+β)

=2

4(k12+k22)+2 17+16(k12+k22)

∴S四邊形ACBD=

sinθ

2

|AB|•|CD|=16

4(k12+k22)+2 17+16(k12+k22)

•

(3k12+1)(3k22+1) (4k12+1)(4k22+1)

•

(1+k12)(1+k22)

=

25+48(k12+k22) 2+4(k12+k22)

=

12+ 1 2+4(k12+k22)

≤

12+ 1 2+8|k1•k2|

=

49 4

=

7

2

∴Smax=

7

2

（12分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，具有一定的難度，運算量較大，比較繁瑣，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．