Question

（2012•資陽二模）已知雙曲線W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點N（0，b），右頂點是M，且

MN

•

MF2

=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點Q（0，-2）的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點，若點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

MN

•

MF2

=-1，可得

MN

•

MF2

=a²-ac=-1，根據∠NMF₂=120°，可得c=2a，由此可求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，利用直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點，確定k的范圍，根據點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，可得

HA

•

HB

＞0，由此可得得實數k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（0，b），F₂（c，0），
∴

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，∴∠NMF₁=60°，∴b=

3

a，∴c²-a²=3a²，∴c=2a
∴a=1，b=

3

，
∴雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由題知，直線l的斜率存在且不為0，設為k（k≠0），直線l：y=kx-2，代入雙曲線方程，消去y可得
（3-k²）x²+4kx-7=0，（6分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

3-k2≠0 △＞0 - 4k 3-k2 ＞0 -7 3-k2 ＞0

，解得

3

＜k＜

7

．①（8分）
∵點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，則

HA

•

HB

＞0，（9分）
∴

HA

•

HB

=（x₁-7，y₁）•（x₂-7，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）×

7

k2-3

-（7+2k）×

4k

k2-3

+53=

52k2-28k-152

k2-3

＞0
∴k＞2  ②（11分）
由①、②得實數k的范圍是（2，

7

）．（12分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識的運用，屬于中檔題．