Question

已知函數f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
（1）求實數a；
（2）當x∈[-2，0]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數與函數極值的關系，由f′（-1）=0即可得出結論；
（2）利用導數判斷函數的單調性求得函數的最值即可得出結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
∴f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，
∴a=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
∴由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
∴f（x）在[-2，-1]上是單調遞增函數，在[-1，0]上是單調減函數，
∴當x=-1時，函數取得最大值f（-1）=1，
又f（-2）=-3，f（0）=-1，
∴函數f（x）在[-2，0]上的值域是[-3，1]．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值知識，屬中檔題．