Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+x2+bx+1在點（1，f（1））處的切線方程為4x﹣y﹣12=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導f′（x）= +2x+b，由題意得：

f′（1）=4，f（1）=﹣8，

則 ，解得 ，

所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1

（2）解：f（x）定義域為（0，+∞），

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，

所以f（x）在（0，2）遞增，在（2，3）遞減，在（3，+∞）遞增，

故f（x）極大值=f（2）=12ln2﹣15，

f（x）極小值=f（3）=12ln3﹣20

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1），得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．