Question

【題目】選修4-5：不等式選講設函數

（1）當時，解不等式：；

（2）若關于x的不等式f（x）≤4的解集為[﹣1，7]，且兩正數s和t滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先根據不等式解集得對應方程解求參數，再根據1的代換，利用基本不等式進行證明.

試題解析：當a=2時，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化為|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．

①x≥2.5時，不等式可化為x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；

②2≤x＜2.5，不等式可化為x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈；

x＜2，不等式可化為2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，

綜上所述，不等式的解集為（﹣]；

（Ⅱ）證明：不等式f（x）≤4的解集為[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，

∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，當且僅當s=，t=2時取等號