Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數，α∈[0，π））．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ． （Ⅰ）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于兩點A，B，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ， 可得ρ2sin2θ=4ρsinθ=0，可得直角坐標方程：x2=4y．
∴x+y=x+ x2= （x+2）2﹣1≥﹣1，
故x+y的取值范圍為[﹣1，+∞）
（Ⅱ）直線l： （t為參數）消掉參數t，得到y﹣1=xtanα，
代入到x2=4y，x2﹣4xtanα﹣4=0，
∴x1+x2=4tanα，x1x2=﹣4
∴|AB|= |x1﹣x2|= 4 =4（1+tan2α）≥4．當且僅當α=0取等號，
故|AB|的最小值為4．
【解析】（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4sinθ=0，可得ρ2sin2θ=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程，再根據二次函數的性質即可求出x+y的范圍，（Ⅱ）由直線l的參數方程，消去參數t可得普通方程，直線方程與拋物線方程聯立化為：x2﹣4xtanα﹣4=0，利用根與系數的關系及其弦長公式即可求出