Question

【題目】已知橢圓 與拋物線y2=2px（p＞0）共焦點F2 ， 拋物線上的點M到y軸的距離等于|MF2|﹣1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF2|= ． （Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（Ⅱ）過拋物線上的點P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A、B兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵拋物線上的點M到y軸的距離等于|MF2|﹣1， ∴點M到直線x=﹣1的距離等于點M到焦點F2的距離，
得x=﹣1是拋物線y2=2px的準線，即 ，
解得：p=2，
∴拋物線的方程為y2=4x；
可知橢圓的右焦點F2（1，0），左焦點F1（﹣1，0），
由拋物線的定義及 ，得 ，
又 ，解得： ，
由橢圓的定義得2a=|QF1|+|QF2|= ，
∴a=3，又c=1，得b2=a2﹣c2=8，
∴橢圓的方程為 ．
（ II）顯然k≠0，m≠0，
由 ，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，
由題意知△1=16﹣16km=0，得km=1，
由 ，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，
其中 （9k2+8）（9m2﹣72）＞0，
化簡得9k2﹣m2+8＞0，
又 ，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，
切線在x軸上的截距為 ，又 ，
∴切線在x軸上的截距的取值范圍是（﹣9，0）．
【解析】（Ⅰ）由拋物線的性質，求得x=﹣1是拋物線y2=2px的準線，則 ，求得p的值，求得焦點坐標，代入拋物線方程求得Q點坐標，利用橢圓的定義，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線分別代入拋物線，由△=0，求得km=1，將直線方程代入橢圓方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范圍，切線在x軸上的截距為 ，又 ，即可求得切線在x軸上的截距的取值范圍．