Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），離心率為 ，兩焦點分別為F1、F2 ， 過F1的直線交橢圓C于M，N兩點，且△F2MN的周長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A，B兩點，求弦長|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題得： ，4a=8，所以a=2，

又b2=a2﹣c2，所以b=1即橢圓C的方程為

（2）解：由題意知，|m|≥1．

當m=1時，切線l的方程x=1，點A、B的坐標分別為 ，

此時 ； 當m=﹣1時，同理可得

當|m|＞1時，設切線l的方程為y=k（x﹣m），（k≠0）

由

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

則△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0

又由l與圓 ．得

所以 = = 因為|m|≥1所以 ，

且當 時，|AB|=2，

由于當m=±1時， ，所以|AB|的最大值為2

【解析】（1）利用已知條件求出橢圓方程中的幾何量，即可求橢圓C的方程；（2）利用直線的斜率存在與不存在，分別與橢圓方程聯立，利用韋達定理，以及弦長公式表示弦長|AB|通過基本不等式求解弦長的最大值．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．