Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小；

(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

解：方法一：(Ⅰ)證明：連接OC

∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=．

而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD

(Ⅱ)提示：取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB，OE∥DC

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在△OME中，EM=AB=,OE=DC=1，

∵OM是直角斜邊AC上的中線，∴OM=AC=1，

∴cos∠OEM=，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos．

(Ⅲ)提示：設點E到平面ACD的距離為h．

∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴h·S_△ACD=AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=，

∴S_△ACD=.

而AO=1，S_△CDE=,

∴h=．

∴點E到平面ACD的距離為．

方法二：(1)同方法一．

(Ⅱ)提示：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)

E(0)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0)．

∴cos＜＞=，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(Ⅲ)提示：設平面ACD的法向量為n=(x，y，z)，則

∴

令y=1，得n=()是平面ACD的一個法向量．

又=(，0)，

∴點E到平面ACD的距離h=．