Question

已知圓：，直線被圓所截得的弦的中點為P（5，3）．（1）求直線的方程；（2）若直線：與圓相交于兩個不同的點，求b的取值范圍.

Answer 1

（1）     （2）

（I）根據圓心CP與半徑垂直，可求出直線l₁的斜率，進而得到點斜式方程，再化成一般式即可.
（II）根據直線與圓的位置關系，圓心到直線的距離小于半徑得到關于b的不等式，從而解出b的取值范圍.
（1）由，得，
∴圓心，半徑為3.…………………2分
由垂徑定理知直線直線，
直線的斜率，故直線的斜率，……………5分
∴直線的方程為，即.…………………6分
（2）解法1：由題意知方程組有兩組解，由方程組消去得
，該方程應有兩個不同的解，…………………9分
∴，化簡得，………………10分
由解得
∴的解為.…………………………12分
故b的取值范圍是.…………………………13分
解法2：同（1）有圓心，半徑為3.…………………9分
由題意知，圓心到直線：的距離小于圓的半徑，即
，即，………………………11分
解得，………………………13分
故b的取值范圍是.…………………13分