Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓過點，直線交軸于，且，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓的上頂點，過點分別作直線交橢圓于兩點，設這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點，證明見解析.

【解析】

試題分析：對問題（1），根據題目條件并結合橢圓過點，即可得到的值，進而可求得橢圓的方程；對問題（2），首先討論直線的斜率是否存在，分兩種情況分別證明，當直線的斜率存在時，可聯立直線與橢圓的方程并結合韋達定理，即可判斷出直線過定點.

試題解析：（1）∵橢圓過點，∴①，

∵，∴，則，

∴，②

由①②得，

∴橢圓的方程為

（2）當直線的斜率不存在時，設，則，由得，得

當直線的斜率存在時，設的方程為，

，

得，

，

即，

由，

即，

故直線過定點．