Question

已知函數(shù)f(x)=－x²＋bx＋c．

（1）若f(x)有極值，求b的取值范圍；

（2）當(dāng)f(x)在x=1處取得極值時(shí)，若當(dāng)x∈［－1,2］時(shí)，f(x)<c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³－x²＋bx＋c， ∴f `（x）=3x²－x＋b

要使f（x）有極值，則f `（x）=3x²－x＋b=0有實(shí)數(shù)解

從而△＝1－12b≥0,∴b≤

當(dāng)b=時(shí)，函數(shù)在R上嚴(yán)格遞增，∴b<

（2）∵f（x）在x=1處取得極值

∴f `（1）=3－1＋b=2＋b=0

∴b＝－2 

∴f（x）=－x²－2x＋c

∵f `（x）=3x²－x－2=（3x＋2）（x－1）

∴當(dāng)x∈時(shí)，f `（x）>0，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（－，1）時(shí)，f `（x）<0，函數(shù)單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=－時(shí)，f （x）有極大值＋c

又f （2）=2＋c >＋c, f （－1）=＋c<＋c

∴x∈［－1,2］時(shí)，f （x）最大值為f （2）=2＋c

∴c²>2＋c

∴c<－1或c>2