Question

已知函數f（x）是區間D⊆[0，+∞）上的增函數．若f（x）可表示為f（x）=f₁（x）+f₂（x），其中f₁（x）是D上的增函數，f₂（x）是D上的減函數，且函數f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數f（x）的區間D上的“偏增函數”
（1）試說明y=sinx+cosx是區間（0，

π

4

）上的“偏增函數”；
（2）記f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a為常數），是判斷f（x）=f₁（x）+f₂（x）是否是區間（0，1]上的“偏增函數”，若是，證明你的結論，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，利用輔助角公式化簡得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），根據正弦函數的圖象與性質得到函數y=sinx+cosx在區間（0，

π

4

）上是增函數，再由f₁（x）=sinx、f₂（x）=cosx在區間（0，

π

4

）上的單調性可得y=sinx+cosx是區間（0，

π

4

）上的“偏增函數”；
（2）利用函數的單調性的定義，證出當a=1時f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在區間（0，1]上是減函數，不符合“偏增函數”的定義，由此即可得到對于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a為常數），函數f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區間（0，1]上的“偏增函數”．

解答：解：（1）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，
得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
設-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
取k=0，得區間[-

3π

4

，

π

4

]是y=sinx+cosx的一個遞增區間，
故y=sinx+cosx是區間（0，

π

4

）上是增函數
又∵f₁（x）=sinx在區間（0，

π

4

）上是增函數，f₂（x）=cosx在區間（0，

π

4

）上是減函數
∴在區間（0，

π

4

）上y=sinx+cosx符合“偏增函數”的定義，即y=sinx+cosx是區間（0，

π

4

）上的“偏增函數”；
（2）∵f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a為常數），y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

a

x

∴取a=1，得y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在區間（0，1]上取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x 2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁-x₂＜0，由

1

x1x2

＞1得1-

1

x1x2

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
因此，y=x+

1

x

在區間（0，1]上是減函數，
∴當a=1時，f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區間（0，1]上的“偏增函數”
綜上所述，對于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a為常數），函數f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區間（0，1]上的“偏增函數”．

點評：本題給出“偏增函數”的定義，要求我們判斷兩個函數是否為其定義域內的“偏增函數”．著重考查了正弦函數的圖象與性質、函數的單調性的定義與證明等知識，屬于中檔題．