Question

（2013•青浦區一模）已知函數f（x）是定義在R上的單調增函數且為奇函數，數列{a_n}是等差數列，a₁₀₀₇＞0，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）的值（　　）

A．恒為正數

B．恒為負數

C．恒為0

D．可正可負

Answer 1

分析：由題意可得f（0）=0，且當x＞0，f（0）＞0； 當x＜0，f（0）＜0．由數列{a_n}是等差數列，a₁₀₀₇＞0，可得f（a₁₀₀₇）＞0  可得 a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，故f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0，同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，從而得到所求式子的符號．

解答：解：∵函數f（x）是R上的奇函數且是增函數數列，∴f（0）=0，且當x＞0，f（0）＞0； 當x＜0，f（0）＜0．
∵數列{a_n}是等差數列，a₁₀₀₇＞0，故f（a₁₀₀₇）＞0．
再根據 a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，∴f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＞0，
故選A．

點評：本題主要考查等差數列的性質，函數的奇偶性和單調性的綜合應用，屬于中檔題．