Question

（2010•武清區一模）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，則“f（x）是周期函數”的一個充要條件是（　　）

A．f（x）=cosx

B．?α∈R，f（α+x）=f（α-x）

C．f（1+x）=f（1-x）

D．?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）

Answer 1

分析：根據充要條件的定義，逐一判斷四個答案中的條件，與“f（x）是周期函數”的充要關系，比照后即可得到答案．

解答：解：f（x）=cosx，則函數的周期為2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函數”的一個充分不必要條件，故A不正確；
?α∈R，f（α+x）=f（α-x），則任意實數都是函數的周期，故“?α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函數”的一個充分不必要條件，故B不正確；
f（1+x）=f（1-x），則函數的周期為2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函數”的一個充分不必要條件，故C不正確；
?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），則函數的周期為2α，故“?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函數”的一個充分不必要條件，故D正確；
故選D

點評：本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，函數的周期性，其中熟練掌握函數奇偶性，對稱性，是解答本題的關鍵．