Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中點，DC1⊥BD

（1）證明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC1⊥面BCD

∵BC面BCD

∴DC1⊥BC

（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC面ACC1A1，∴BC⊥AC

取A1B1的中點O，過點O作OH⊥BD于點H，連接C1O，OH

∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，

∴C1O⊥面A1BD

而BD面A1BD

∴BD⊥C1O，

∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，

∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴點H與點D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角

設AC=a，則 ， ，

∴sin∠C1DO=

∴∠C1DO=30°

即二面角A1﹣BD﹣C1的大小為30°

【解析】（1）證明DC1⊥BC，只需證明DC1⊥面BCD，即證明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）證明BC⊥面ACC1A1 ， 可得BC⊥AC取A1B1的中點O，過點O作OH⊥BD于點H，連接C1O，C1H，可得點H與點D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．