Question

（本題滿分14分）
已知是遞增數列，其前項和為，，且，．
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）是否存在，使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設，若對于任意的，不等式
恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

（1）（2）不存在（3）8

（Ⅰ），得，解得，或．
由于，所以．
因為，所以.
故，
整理，得，即．
因為是遞增數列，且，故，因此．
則數列是以2為首項，為公差的等差數列.
所以.………………………………………………5分
（Ⅱ）滿足條件的正整數不存在，證明如下：
假設存在，使得，
則．
整理，得，    ①
顯然，左邊為整數，所以①式不成立．
故滿足條件的正整數不存在．                    ……………………8分
（Ⅲ），
不等式可轉化為

．
設，
則

.
所以，即當增大時，也增大．
要使不等式對于任意的恒成立，只需即可．
因為，所以.
即.
所以，正整數的最大值為8．           ………………………………………14分