Question

【題目】已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函數，且當x＞0時，f（x）有最小值2 ．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設數列{an}滿足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求證bn+1=bn2；
（3）求數列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，∴有f（﹣x）=﹣f（x），即 ．

整理得（b﹣ac）x2=c對x≠0恒成立．∴有 ，∴b=c=0．

∴ ．

∵a＞0，∴當x＞0時，∴ ，∴a=2．∴

（2）解：證明： ．

∵bn= ，

∴ =

（3）解：∵a1=2＞0，∴ ．取對數得 ．

由 得bn≠1，∴lgbn≠0．∴有 為常數．

∴數列 為等比數列．

∵ ，∴ ．

∴

【解析】（1）由f（x）是奇函數，可得f（﹣x）=﹣f（x），解出b，c，再利用基本不等式的性質可得a．（2）由2an+1=f（an）﹣an（n∈N*），可得an+1與an的關系，令bn= ，利用遞推關系即可證明bn+1=bn2 ． （3）由a1=2＞0，可得 ．取對數得 ．利用等比數列的通項公式即可得出．
【考點精析】掌握數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．