Question

【題目】如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，棱PD與EC均垂直于底面ABCD，PD=2EC，N為PB的中點，求證：

（1）平面EBC∥平面PDA；
（2）NE⊥平面PDB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，

又PD平面PDA，EC平面PDA，

∴EC∥平面PDA，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BC∥AD，又AD平面PDA，BC平面PDA，

∴BC∥平面PDA，

∵EC平面EBC，BC平面EBC，EC∩BC=C，

∴平面EBC∥平面PDA

（2）證明：設AC與BD相交于點O，連接NO，

∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD的中點，又N為PB的中點，

∴NO∥PD且NO= PD，

又由（1）得EC∥PD，且 ，

∴NO∥EC且NO=EC，∴四邊形NOCE為平行四邊形，

∴NE∥OC，即NE∥A，C

∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PD，

又DB⊥AC，PD∩BD=D

∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC，

∴NE⊥平面PDB．

【解析】（1）由線面垂直性質得EC∥PD，由四邊形ABCD為正方形，得BC∥AD，由此能證明平面EBC∥平面PDA．（2）推導出四邊形NOCE為平行四邊形，從而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能證明NE⊥平面PDB．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．