Question

【題目】如圖四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，圖中陰影部分（梯形剪去一個扇形）繞AB旋轉一周形成一個旋轉體．
（1）求該旋轉體的表面積；
（2）求該旋轉體的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：旋轉后的幾何體是一個圓臺從上面挖去一個半球，圓臺的上下底面半徑分別

為2，5高為4，半球半徑為2．

圓臺的母線長為CD= =5．

∴ ，S圓臺側=π×（2+5）×5=35π， ，

∴旋轉體的表面積為S表=8π+35π+25π=68π．

（2）解：V圓臺= （4π+25π+10π）4=52π， ，

∴旋轉體的體積為 ．

【解析】（1）旋轉體為圓臺挖去一個半球后的幾何體，圓臺的上下底面半徑為AD，BC，高為AB，半球的半徑為AD．于是幾何體的表面積為圓臺側面積與底面積半球面積的和；（2）體積為圓臺體積與半球體積的差．
【考點精析】本題主要考查了旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）的相關知識點，需要掌握常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球才能正確解答此題．