Question

給出下列四個命題：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則x＞1；
②拋物線y=2x²的焦點坐標是(

1

2

，0)；
③已知|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，則

a

+

b

在

a

上的投影為3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f(

3π

2

-x)=-f(x)；．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：依次分析命題：當(dāng)0＜x≤1時，|x-lgx|=x+|lgx|；當(dāng)x＞1時，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；拋物線y=2x²的焦點坐標是（0，

1

8

），②不成立；

a

+

b

在

a

上的投影=|

a

|+|

b

| cos

π

3

=2+2×

1

2

=3，③成立；f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f(

3π

2

-x)=-f(x)，④成立，綜合可得答案．

解答：解：當(dāng)0＜x＜1時，|x-lgx|=x+|lgx|；
當(dāng)x=1時，|x-lgx|=x+|lgx|；
當(dāng)x＞1時，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則x＞1，即①成立；
∵拋物線y=2x²的焦點坐標是（0，

1

8

），∴②不成立；

a

+

b

在

a

上的投影=|

a

|+|

b

| cos

π

3

=2+2×

1

2

=3，∴③成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f(

3π

2

-x)=-f(x)，即④成立．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題時要注意拋物線的性質(zhì)、向量的性質(zhì)和絕對值不等式的應(yīng)用．