Question

如圖：已知線段AB=4，動圓O₁與線段AB相切于點C，且AC-BC=2

2

，過點A，B分別作⊙O₁的切線，兩切線相交于點P，且P、O₁均在AB的同側．
（Ⅰ）建立適當坐標系，當O₁位置變化時，求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過點B作直線交曲線E于點M、N，求△AMN面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立坐標系，可得|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2

2

，利用雙曲線的定義，可得動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）設直線：x=my+2代入雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1，利用S_△AMN=

1

2

×|AB|×|y1-y2|求出面積，換元，利用函數的單調性可得結論．

解答：解：（Ⅰ）以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立坐標系，則|PA|-|PB|=|AC|-|BC|=2

2

，
∴點P在以A、B為焦點雙曲線上，且2c=4，2a=2

2

，
∴c=2，a=

2

，
∴b=

c2-a2

=

2

∴P點的軌跡E為：

x2

2

-

y2

2

=1（x＞

2

）；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線：x=my+2代入雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1得（m²-1）y²+4my+2=0，顯然m≠±1
∵M、N在雙曲線一支上，∴|m|＜1．
S_△AMN=

1

2

×|AB|×|y1-y2|=2

16m2 (m2-1)2 - 8 m2-1

=2

8(m2+1) (m2-1)2

令t=m²+1，有1≤t＜2，則S_△AMN=2

8t (t-2)2

=2

8 t+ 4 t -4

在[1，2）上遞增
∴當t=1，即m=0時，△AMN面積取得最小值為4

2

．

點評：本題考查雙曲線定義的運用，考查直線與雙曲線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，確定三角形的面積是關鍵．