Question

【題目】如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，tan∠BAM= ，cos∠AMC=﹣ （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC= ，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為 ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知∠AMB+∠AMC=π， 又cos∠AMC=﹣ ，
∴cos∠AMB= ，sin∠AMB= ，tan∠AMB= ，
∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣
=﹣ =﹣ ，
又B∈（0，π），
∴B= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B= ，且∠BAC= ，
∴∠C= ，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
設(shè)BM=x，則AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2ABBMcosB，即7=4x2+x2+2x2 ，
解得：x=1（負(fù)值舍去），
∴AB=BC=2，
則S△ABC= 4sin =
【解析】（Ⅰ）由鄰補(bǔ)角定義及誘導(dǎo)公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tan∠AMB的值，再利用誘導(dǎo)公式求出tanB的值，即可確定出B的大小；（Ⅱ）由三角形內(nèi)角和定理及等角對(duì)等邊得到AB=BC，設(shè)BM=x，則AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與BC的值，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的兩角和與差的正切公式和余弦定理的定義，需要了解兩角和與差的正切公式：；余弦定理:;;才能得出正確答案．