Question

【題目】已知函數為的導函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數在上存在最大值0，求函數在[0，＋∞)上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求導，再分類討論，即可求出g（x）的單調區間，（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna處取得最大值，即構造函數 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），根據導數求出函數的最值，可知f（x）在[0，+∞）上單調遞減，即可求解最大值

（1）由題意可知，g（x）＝f'（x）＝x+a﹣aex，則g'（x）＝1﹣aex，

當a≤0時，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

當a＞0時，解得x＜﹣lna時，g'（x）＞0，x＞﹣lna時，g'（x）＜0

∴g（x）在（﹣∞，﹣lna）上單調遞增，在（﹣lna，+∞）上單調遞減

綜上，當a≤0時，g（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞），無遞減區間；

當a＞0時，g（x）的單調遞增區間為 （﹣∞，﹣lna），單調遞減區間為（﹣lna，+∞）．

（2）由（1）可知，a＞0且 g（x）在 x＝﹣lna處取得最大值，

，即a﹣lna﹣1＝0，

觀察可得當a＝1時，方程成立

令 h（a）＝a﹣lna﹣1（a＞0），

當 a∈（0，1）時，h'（a）＜0，當a∈（1，+∞）時，h'（a）＞0

∴h（a）在（0，1）上單調遞減，在 （1，+∞）單調遞增，

∴h（a）≥h（1）＝0，

∴當且僅當a＝1時，a﹣lna﹣1＝0，

∴，由題意可知 f'（x）＝g（x）≤0，f（x）在[0，+∞）上單調遞減，

∴f（x）在x＝0處取得最大值f（0）＝﹣1