Question

【題目】設函數是偶函數.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式對任意實數成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數，若在上有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由f（﹣x）＝f（x），可求得k＝2．由，即，即可求得不等式的解集；

（2）由得，結合對勾函數的圖象與性質求最值即可．

（3）原題意可轉化在上有解，即等價于在上有解.

（1）因為是偶函數，所以恒成立，

即 恒成立，也即恒成立，

所以.

由得，

解得或，即或，

所以不等式的解集為.

（2）不等式即為，即，

因為，當且僅當時，取等號.所以，

由函數在上是增函數知的最小值為3，

所以，故實數的取值范圍是.

（3）

在上有零點，

即為在上有解，

因為，所以，

所以條件等價于在上有解.

令，則，令，則在上單調遞增，

因此，，.

設，任取，則，

.

若，則，所以，即在上單調遞增；

若，則，所以，即在上單調遞減.

所以函數在時取得最小值，且最小值，

所以，

從而，滿足條件的實數的取值范圍是.