Question

（本小題滿分14分）已知函數，是常數．
（Ⅰ） 證明曲線在點的切線經過軸上一個定點；
（Ⅱ） 若對恒成立，求的取值范圍；
（參考公式：）
（Ⅲ）討論函數的單調區間．

Answer 1

（1）；（2）；（3）單調增區間是和，單調減區間是.

(1)利用導數求出斜率，然后寫出點斜式方程,從而可看出當x=0時，切線經過y軸上的定點(0,-8).
(II)由得……5分，
對，，所以
,然后再構造函數，利用導數研究其最小值即可.
(III)
=,然后再對和兩種情況進行討論。
解：⑴，，……1分  ……2分，
曲線在點的切線為……3分，
當時，由切線方程得，所以切線經過軸上的定點……4分．
⑵由得……5分，
對，，所以
……6分，
設，則……7分，
在區間單調遞減……8分，
所以，的取值范圍為……9分．
⑶函數的定義域為，
=……10分．
若，則，在定義域上單調增加……11分；
若，解方程得，……12分，
，當或時，；
當時，……13分，
所以的單調增區間是和，單調減區間是（區間無論包含端點、均可，但要前后一致）……14分