Question

（本題滿分14分）已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（II）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，
求出的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數(shù)滿足，求證：．

Answer 1

（1）①若，則，在上單調(diào)遞增；  ②若，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.  
（2）故不存在；（3）見解析.

第一問中，利用導(dǎo)數(shù)的思想，先求解定義域，然后令導(dǎo)數(shù)大于零，小于零，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。但是要對參數(shù)a分情況討論得到
第二問中，假設(shè)存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直，利用曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．
進行分析求解
第三問中，要證，先變形然后利用第二問的結(jié)論證明。
解（1）∵，，∴． ……1分
①若，則，在上單調(diào)遞增；                  ……2分
②若，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，            ……4分
③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.   ……………………5分
（2）解：∵，，
， ……6分
由（1）易知，當(dāng)時，在上的最小值：，即時，．                     ………………………8分
又，∴．                     ……9分
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．
而，即方程無實數(shù)解．故不存在.       ………………………10分
（3）證明：
，由（2）知，令得.……14分