Question

已知線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,|AB|=3,點M滿足2=.
(1)求動點M的軌跡E的方程.
(2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分,求實數k的取值范圍.

Answer 1

(1) +y²=1   (2) k≤-或k≥.

(1)設M(x,y),A(x₀,0),B(0,y₀),
則+=9,=(x-x₀,y),=(-x,y₀-y).
由2=,得解得
代入+=9,
化簡得點M的軌跡方程為+y²=1.
(2)由題意知k≠0,
假設存在弦CD被直線l垂直平分,設直線CD的方程為y=-x+b,
由消去y化簡得
(k²+4)x²-8kbx+4k²(b²-1)=0,
Δ=(-8kb)²-4(k²+4)·4k²(b²-1)
=-16k²(k²b²-k²-4)>0,
k²b²-k²-4<0,
設C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),CD中點P(x_p,y_p),
則x₁+x₂=,
x_p==,
y_p=-x_p+b=-·+b=,
又y_p=k(-1),
∴k(-1)=,得b=,
代入k²b²-k²-4<0,得-(k²+4)<0,
解得k²<5,∴-<k<.
∴當曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分時,k的取值范圍是k≤-或k≥.