Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且點(-1,)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)已知點Q(,0),動直線l過點F,且直線l與橢圓C交于A,B兩點,證明:·為定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)見解析

(1)由題意知:c=1.
根據橢圓的定義得:2a=+,
即a=,所以b²=2-1=1,
所以橢圓C的標準方程為+y²=1.
(2)當直線l的斜率為0時,A(,0),B(-,0),
則·=(-,0)·(--,0)=-.
當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為
x=ty+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
由可得(t²+2)y²+2ty-1=0.
顯然Δ>0.所以
因為x₁=ty₁+1,x₂=ty₂+1,
所以·=(x₁-,y₁)·(x₂-,y₂)
=(ty₁-)(ty₂-)+y₁y₂
=(t²+1)y₁y₂-t(y₁+y₂)+
=-(t²+1)·+t·+
=+=-.
即·=-,為定值.