Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，曲線L：ρsin²θ=2cosθ，過點A（5，α）（α為銳角且）作平行于的直線l，且l與曲線L分別交于B，C兩點．
（I）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標相同單位長度，建立平面直角坐標系，寫出曲線L和直線l的普通方程；
（II）求|BC|的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求的點A的直角坐標為（4，3），求得曲線L的普通方程為：y²=2x，由于直線l的斜率為1，且過點
A（4，3），由點斜式求得直線l的普通方程為y=x-1．
（Ⅱ）把曲線L的方程和直線l的方程聯立方程組，化為一元二次方程，利用韋達定理求出x₁+x₂4和x₁•x₂的值，再利用
弦長公式求得|BC|的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，點A的直角坐標為（4，3），
曲線L即 ρ² sin²θ=2ρcosθ，它的普通方程為：y²=2x，
由于直線l的斜率為1，且過點A（4，3），故直線l的普通方程為：y-3=x-4，即y=x-1．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），由 可得 x²-4x+1=0，
由韋達定理得x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
由弦長公式得．
點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，弦長公式的應用，屬于基礎題．