Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）試用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）若a＞

1

3

，f（a）+f（1-3a）＞0，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，作差，變形，判號，得出結(jié)論四步；
（Ⅱ）先移項，利用函數(shù)的奇偶性，得f（a）＞-f（1-3a）=f（3a-1），然后再利用函數(shù)的單調(diào)性即可的a的取值范圍．
（Ⅲ）將b表示為x的函數(shù)，利用單調(diào)性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）．證：任設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，則f(x1)-f(x2)=

2x1

4x +1

-

2x2

4x2+1

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

．
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0．
∴

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由f（a）+f（1-3a）＞0得：f（a）＞-f（1-3a）=f（3a-1），
∴

-1≤a≤1 -1≤1-3a≤1 a＜3a-1 a＞ 1 3

，解得

1

2

＜a≤

2

3

，
∴實數(shù)a的取值范圍為：

1

2

＜a≤

2

3

；
（Ⅲ）記g（x）=f（x）-x，則g（x）為（0，1]上的單調(diào)遞減函數(shù)．
∴g(x)∈[g(1)，g(0))⇒g(x)∈[-

3

5

，

1

2

)．
∵g（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)，∴當x∈[-1，0）時g(x)∈(-

1

2

，

3

5

]．
又g（0）=0，
∴g(x)∈[-

3

5

，

3

5

]，即b∈[-

3

5

，

3

5

]．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的定義域的求法，體現(xiàn)了整體意識，在利用單調(diào)性列關(guān)于x的不等式時，注意函數(shù)的定義域，是中檔題．