Question

（附加題）已知定義在[-1，1]上的奇函數f（x），在x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）當x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=-2^x•f（x）（-1＜x＜0），求函數y=g（x）的值域；
（3）若關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，結合x∈（-1，0）時，f（x）的解析式，函數的奇偶性可得結論；
（2）求出函數g（x）的解析式，寫成部分分式的形式，即可求函數y=g（x）的值域；
（3）關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等價于λ•

2x

4x+1

＜1在x∈（0，1]上有解，即λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解，確定右邊對應函數的值域，即可得到結論．

解答：解：（1）當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數，x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在區間[-1，1]上，有f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈[-1，0) 0，x=0 2x 4x+1 ，x∈(0，1]

；
（2）-1＜x＜0時，g（x）=2^x•

2x

4x+1

=

4x

4x+1

=1-

1

4x+1

，
∵-1＜x＜0，∴

5

4

＜4x+1＜2
∴

1

2

＜

1

4x+1

＜

4

5

，∴

1

5

＜g(x)＜

1

2

∴函數y=g（x）的值域為[

1

5

，

1

2

]；
（3）關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等價于λ•

2x

4x+1

＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解
令h（x）=

4x+1

2x

，則h′（x）=

2xln2(4x-1)

22x

∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上單調遞增
∴2＜h（x）≤

5

2

∵λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解
∴λ＜

5

2

．

點評：本題考查利用函數的奇偶性求對稱區間上的解析式，考查函數的值域，考查不等式有解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．