Question

【題目】已知圓與定點，動圓過點且與圓相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若過定點的直線交軌跡于不同的兩點、，求弦長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題設可知，動圓與定圓相內切，結合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；

（2）弦長問題采用代入法，直線斜率不存在弦長為，直線斜率存在時，設坐標，直線方程，聯立橢圓與直線方程，通過和韋達定理表示出，最后運用換元法和函數的性質，確定最大值.

解：（1）設圓的半徑為，題意可知，點滿足：

，，

所以，，

由橢圓定義知點的軌跡為以 為焦點的橢圓，且

進而，故軌跡方程為：．

（2）當直線斜率不存在時，，或，/span>，

此時弦長．

當直線斜率存在時，設的方程為：，

由 消去得：，

由△ 恒成立，

設、，可得：

，，

，

令8，則，

，，

．

綜上，弦長的最大值為．